РАЗДЕЛ III. ТЕНИ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ

Построение теней на комплексном чертеже придает бóльшую реалистичность изображению за счет придания рельефности. Для этого необходимо знание физических и геометрических закономерностей построения теней. Знание физических закономерностей позволяет построить так называемую «воздушную перспективу», близкую к нашему зрительному восприятию и зависящую от степени освещенности, состояния воздушной среды, глубины расположения элементов, отраженного освещения, рефлексов, бликов. В настоящем курсе рассматриваются только геометрические закономерности построения теней, т.е. методы построения контуров теней.
Тени образуются от предметов при наличии источников освещения, которые могут быть точечными или бесконечно удаленными (например, солнце). В первом случае световые лучи исходят из одной точки, а во втором - параллельны между собой. Обычно световые лучи освещают часть предмета. Часть предмета, на которую не падают световые лучи, находится в собственной тени. Линия, ограничивающая эту тень, называется контуром собственной тени. Контур собственной тени образуют лучи, касающиеся предмета. Совокупность точек касания световых лучей образует контур собственной тени. Поверхность, образуемая касательными световыми лучами, называется лучевой поверхностью. Тень, падающая от одного предмета на другой, называется падающей тенью. Линия, ограничивающая эту тень, называется контуром падающей тени.
Построение падающих теней можно сравнить с построением очерка предметов при параллельном косоугольном проецировании (световые лучи параллельны) и центральном проецировании (световые лучи исходят из точечного источника света).
На архитектурных чертежах тени строят в основном на фасадах, в перспективных проекциях, в аксонометрии. Гораздо реже тени строятся на планах и разрезах. Построение теней на фасадах равносильно построению теней на фронтальной проекции комплексного чертежа. Горизонтальные проекции теней строятся в тех случаях, когда без них невозможно построить фронтальную проекцию тени.
Направление световых лучей, исходящих от солнца, зависит от времени суток, времени года и географического местоположения. При построении теней на комплексном чертеже эти факторы не учитываются, а световые лучи считаются параллельными и направленными под углом, равным углу между диагональю и гранями куба, у которого грани попарно параллельны и перпендикулярны плоскостям проекций (рис.1.1). В этом случае проекции светового луча s на плоскости проекций s₂ и s₁ составят ∠ 45° с линиями связи. Угол наклона светового луча s к граням куба составляет ~ 35°. Такое направление светового луча значительно облегчает построения.

Подводя итог, можно сказать, что с геометрической точки зрения, построение теней представляет решение двух задач:
а) построение линии касания световых лучей (лучевой поверхности) и заданного геометрического образа, т.е. выявление контура собственной тени;
б) построение линии пересечения лучевой поверхности с поверхностью, на которую падает тень, т.е. решение второй главной позиционной задачи о пересечении двух поверхностей. При этом лучевая поверхность является в общем случае цилиндрической с направляющей, роль которой играет контур собственной тени. Контур падающей тени, таким образом, является тенью от контура собственной тени.
Построение теней на фасадах равносильно построению теней на фронтальных плоскостях уровня. На комплексном чертеже в качестве такой фронтальной плоскости уровня будет использоваться плоскость Δ, заданная своей вырожденной проекцией Δ₁. В дальнейшем по возможности будут рассматриваться приемы построения теней без использования горизонтальной проекции. Однако, это не всегда возможно, поэтому горизонтальная проекция тени при необходимости будет строиться на горизонтальной плоскости уровня Γ, заданной своей вырожденной проекцией Γ₂. Расположение плоскостей Δ и Γ принято таким образом, чтобы их вырожденные проекции совпали, что в свою очередь, означает их совпадение с плоскостями проекций Π₂ и Π₁ соответственно.

Для получения тени от точки необходимо провести через эту точку световой луч до пересечения его с поверхностью, на которую строится тень. Таким образом, задача о нахождении тени от точки сводится к решению первой главной позиционной задачи, т.е. задаче о пересечении прямой и поверхности. На рис.2.1 и 2.2 показано построение тени от точки A на горизонтальную и фронтальную плоскости уровня Γ и Δ, т.е. решается первая главная позиционная задача во втором случае, когда один из образов занимает проецирующее положение.

На рис.2.3 показано построение тени от точки M на плоскость общего положения, заданную Δ ABC (первая главная позиционная задача в третьем случае, когда ни один из геометрических образов не занимает проецирующее положение).

Тень от отрезка прямой линии на плоскость может быть построена по двум точкам (рис.2.4).

В случае, если тень от отрезка прямой попадает на две плоскости, т.е. тень получается «ломаной», необходимо построить вспомогательную точку C (рис.2.5) или использовать фиктивную тень точки B (рис.2.6). Второй способ предпочтительнее, т.к. требует меньше построений.

4. Тень от плоской фигуры на плоскость, ей параллельную, является точно такой фигурой и для ее построения достаточно построить тень от одной точки.

3. Тень от горизонтали, расположенной под ∠ 45° к фронтальной плоскости (так называемая «биссекторная» горизонталь), располагается либо как тень проецирующей прямой (рис.2.9 и 2.10), либо (∠ 45° в другую сторону) на фронтальной плоскости отрезок тени расположен с уклоном 1:2 (рис.2.11).

Тени от прямых частного положения обладают рядом особенностей:

1. Тени от отрезков прямых уровня располагаются параллельно проекциям отрезков на плоскостях, которым они параллельны (рис.2.7).

2. Тени от отрезков проецирующих прямых располагаются по направлению проекции светового луча (т.е. под ∠ 45°) на плоскость, по отношению к которой отрезок перпендикулярен. В случае если тень «ломаная», на другой плоскости тень параллельна соответствующей проекции отрезка, т.е. вертикальна (рис.2.8).

Наиболее часто приходится строить тени от окружностей, расположенных в плоскостях уровня. Тень от таких окружностей на плоскость, ей параллельную, является окружностью и для ее построения достаточно построить тень от центра окружности O. На рис.3.1 изображена окружность, расположенная в горизонтальной плоскости уровня, и ее тень полностью попадает на горизонтальную плоскость Γ.

На рис.3.2 изображена окружность, расположенная во фронтальной плоскости уровня, и тень от нее полностью падает на фронтальную плоскость Δ.

Тень от горизонтальной окружности, расположенной достаточно близко к фронтальной плоскости Δ и значительно удаленной от горизонтальной плоскости Γ, попадет на плоскость Δ. Ее построение осуществляется через описанный вокруг нее квадрат (рис.3.3). Тень от описанного квадрата является параллелограммом со сторонами под ∠ 45°, одна диагональ которого вертикальна. Тень от окружности строится по восьми точкам, общими с описанным квадратом. Из них четыре точки – это точки касания квадрата и окружности и четыре точки – это точки пересечения окружности с диагоналями квадрата. Точки пересечения диагоналей с окружностью можно найти, если половину стороны квадрата поделить в отношении 0.707 и через полученные точки провести прямые, параллельные соседним сторонам квадрата. Плавная кривая, проведенная через эти восемь точек, является эллипсом. Описанные построения можно осуществить непосредственно на фронтальной плоскости проекций, не прибегая к использованию горизонтальной.

На рис.3.4 показано построение тени от половины окружности, расположенной в горизонтальной плоскости и примыкающей к плоскости Δ. Тень полностью попала на плоскость Δ, построена через половину квадрата и представляет собой половину эллипса.

На рис.3.5 представлено построение тени от точно такой же полуокружности, но расположенной ниже, что привело к излому тени. Участок тени на горизонтальной плоскости Γ представляет собой часть окружности.

На рис.3.6 представлено построение тени от окружности, расположенной в профильной плоскости. Тень строится через тень квадрата, описанного вокруг окружности. В данном случае вся тень попала на фронтальную плоскость Δ и представляет собой эллипс.

Падающая тень от геометрического образа является тенью от линии, являющейся контуром его собственной тени. Поэтому в общем случае вначале определяется контур собственной тени геометрического образа, а затем контур падающей. Далее рассматривается построение теней от простейших геометрических тел: параллелепипеда, цилиндра, конуса.
Тень от параллелепипеда. Контур собственной тени параллелепипеда ограничен прямыми линиями (ребрами параллелепипеда). На рис.4.1 представлено построение падающей тени, полностью расположенной на горизонтальной плоскости Γ.

На рис.4.2 расположение и пропорции параллелепипеда таковы, что тень претерпела излом и часть ее падает на фронтальную плоскость Δ.

Тень от цилиндра. Контур собственной тени вертикального цилиндра образован полуокружностью верхнего основания, полуокружностью нижнего основания и двумя образующими, которых касаются световые лучи. Поэтому для построения падающей тени необходимо построить в общем случае тени от верхней и нижней окружностей и двух образующих.
На рис.4.3 представлено построение падающей тени цилиндра, полностью расположенной на горизонтальной плоскости Γ.

На рис.4.4 расположение и пропорции цилиндра таковы, что тень претерпела излом и часть ее падает на фронтальную плоскость Δ.

На рис.4.5 представлено построение падающей тени от половины вертикального цилиндра, примыкающего к фронтальной плоскости Δ.

На рис.4.6 представлено построение падающей тени от половины горизонтального цилиндра, примыкающего к фронтальной плоскости Δ.
Тени на рис.4.5 и 4.6 полностью падают на фронтальную плоскость Δ и могут быть построены без использования горизонтальной проекции.

Если тень от вершины конуса падает на фронтальную плоскость, то строится, так называемая, фиктивная тень от вершины на горизонтальную плоскость S₁^ф, проводятся касательные к основанию конуса из этой точки, но только в пределах горизонтальной плоскости. Точки на линии пересечения плоскостей соединяются с истинной тенью от вершины (рис.4.8).

В случае если конус обратный, для построения собственной тени строится фиктивная тень от вершины на плоскость, в которой находится основание конуса (рис.4.9) и из нее проводятся касательные к основанию конуса.

На рис.4.10 представлена половина конуса, примыкающего к фронтальной плоскости и отстоящего от горизонтальной. Контур падающей тени такого конуса образован контуром падающей тени окружности основания и прямой, исходящей из вершины, (т.к. вершина конуса лежит во фронтальной плоскости) и касательной к тени от окружности. Если из точки касания провести обратный луч до основания, то из полученной точки 1 можно провести образующую, являющуюся контуром собственной тени.

На рис.4.11 и 4.12 представлены два конуса, у которых углы при основании равны 45° и 35° соответственно. Контур собственной тени для конуса с ∠ 45° образуют профильная и контурная образующие. Контур собственной тени для конуса с ∠ 35° вырождается в прямую, являющуюся образующей, совпадающей со световым лучом. Конусы с углами, меньшими 35°, не имеют собственной тени. Боковая поверхность таких конусов полностью освещена и не дает падающей тени.

На рис.4.13 показано графическое построение ∠ 35°. Для этого строится квадрат, размер диагонали 1–2 циркулем переносится на сторону квадрата, полученная точка 3 соединяется с точкой 4. Угол между отрезками 1–3 и 3–4 составляет 35°.

Конусы с углами при основании 45° и 35° в дальнейшем будут использоваться при построении теней более сложных форм, т.к. положение их собственных теней заведомо известно и легко строится.

Тень от конуса. В отличие от других геометрических тел для конуса сначала строится падающая тень и лишь потом собственная. Для этого строится падающая тень от вершины конуса (рис.4.7). Из полученной точки S₁^Т проводятся касательные прямые к основанию конуса. Контур, образованный этими касательными, и часть контура основания являются контуром падающей тени конуса. Образующие конуса, проведенные из точек касания, являются контуром собственной тени конуса.

При построении теней используются различные способы построения. Выбор способа зависит от характера конкретной задачи, но основной критерий при выборе способа заключается в максимальной точности решения, минимуме графических построений и возможности построения тени на фронтальной плоскости проекций без использования горизонтальной.

Способ лучевых сечений является основным и позволяет построить как собственные, так и падающие тени. С его помощью можно решить любую задачу на построение теней. Однако, несмотря на его универсальность, в ряде случаев прибегают к использованию других менее трудоемких способов. На рис.5.1 представлено построение теней от одной поверхности общего вида на другую.

Суть способа заключается в следующем. Световой луч заключается в лучевую плоскость (в данном случае горизонтально проецирующую плоскость Σ). Находится линия пересечения a лучевой плоскости Σ с поверхностью Φ, которая отбрасывает тень, и линия пересечения b с поверхностью Ω, на которую падает тень. Далее на фронтальной плоскости проекций проводятся касательные световые лучи к первой линии пересечения a до их пересечения со второй линией пересечения b. В данной задаче два касательных световых луча, которые в двух точках 1 и 2 пересекают линию b. Полученные точки 1 и 2 лежат на контуре падающей тени от поверхности Φ на поверхность Ω. Точки касания световых лучей 1^/ и 2^/ к поверхности Φ лежат на контуре ее собственной тени.
Проведя несколько лучевых плоскостей (сечений), можно получить ряд точек на контуре собственной и падающей теней. Совокупность точек касания световых лучей даст контур собственной тени поверхности Φ. Совокупность точек пересечения световых лучей, касательных к линиям пересечения с первой поверхностью Φ, с линиями пересечения со второй поверхностью Ω даст контур падающей тени на эту поверхность.

Способ касательных конусов предназначен для построения только собственных теней поверхностей вращения с осью, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций. Суть способа заключается в следующем. Если к поверхности вращения построить касательный к ней конус вращения (или цилиндр вращения), то точки, лежащие одновременно на контуре собственной тени конуса (или цилиндра) и на линии касания, которая является окружностью, будут также лежать и на контуре собственной тени исходной поверхности вращения. В качестве таких конусов используются конусы с углом наклона образующей 45° и 35°, для которых известно положение образующих, являющихся контурами собственной тени (рис.5.2).

Касательный цилиндр коснется поверхности вращения по экватору. Точки 1 и 2 получены как на цилиндре с радиусом основания, равным радиусу экватора. Точки 3 и 4 получены как на конусе с углом при основании 45°. Точки 5 и 6 получены как на таком же обратном конусе. Высшая точка 7 и низшая точка 8 получены как на конусе с углом при основании 35° прямом и обратном соответственно.
Способ позволяет без использования горизонтальной проекции построить по восьми характерным опорным точкам собственную тень поверхности вращения.

Способ предназначен для построения только падающих теней в случае, если известны расстояния («вынос») характерных точек контура собственной тени до плоскости, на которую падает тень.
На рис.5.3а представлен принцип способа. Если расстояние от точки A до фронтальной плоскости, на которую строится тень, известно и равно a, то достаточно на фронтальной плоскости отложить от точки A₂ по горизонтали отрезок величиной a, провести через полученную точку вертикальную прямую, а через точку A₂ луч под ∠ 45°. В пересечении эти прямые дадут точку A₂^Т, являющуюся тенью от точки A на фронтальную плоскость.
Способ особенно удобен для поверхностей вращения, если известен «вынос» оси вращения (рис.5.3б). На чертеже горизонтальная проекция дана для пояснения. Каждая из восьми характерных точек контура собственной тени имеет «вынос», легко вычисляемый и зависящий от «выноса» оси. Точки 3 и 5 имеют такой же «вынос», как и ось, равный y. Тень от самой оси является вертикальной прямой, проходящей через точку O, «вынос» которой равен y. Точки 4 и 6 имеют «вынос» (y-b) и (y+b) соответственно. «Вынос» точек 1 и 2 равен (y-c) и (y+c) соответственно. «Вынос» точек 7 и 8 равен (y-d) и (y+d) соответственно. Величины b, c и d можно измерить на фронтальной плоскости проекций. Соединив полученные тени от точек 1 – 8, можно получить тень от заданной поверхности на фронтальную плоскость без использования горизонтальной плоскости проекций, зная лишь расстояние от оси до этой плоскости. При построении тени необходимо учесть, что ее контур не должен выходить за пределы лучей, проходящих через точки 3^Т и 5^Т, а также вертикальных прямых, проходящих через точки 1^Т и 2^Т.

На рис.5.4 представлено построение тени от половины поверхности вращения, ось которой принадлежит фронтальной плоскости, т.е. ее «вынос» y = 0, что значительно упрощает построения.

Тень от сферы (шара). Тени от сферы могут быть построены способом «выноса». Однако, на практике их можно построить через тень от ее центра O и диаметр сферы d. Собственная тень сферы является эллипсом, большая ось которого равна диаметру сферы d, а малая ось приблизительно равна 0,6d (рис.5.5). Дополнительные точки на контуре собственной тени можно построить проведением вертикальных и горизонтальных прямых из концов большой оси до пересечения с вертикальной и горизонтальной осями сферы.
Падающая тень от сферы является эллипсом, для построения которого строится тень от центра сферы. Перпендикулярно направлению проекции светового луча расположена малая ось этого эллипса, равная по величине диаметру сферы. Величина большой оси определяется засечкой, равной диаметру сферы, из концов малой оси на направление большой и равна 1,7d.

На рис.5.6 построена тень от полусферы на фронтальную плоскость.

Способ предназначен для построения падающих теней в случаях, если характерные точки контура собственной тени могут быть попарно соединены прямыми, являющимися биссекторными горизонталями. Способ основан на свойстве тени от биссекторной горизонтали на фронтальной плоскости располагаться с уклоном 1:2 (рис.2.11). Применяется этот способ в тех же случаях, что и способ «выноса». Иногда оба способа могут применяться в комплексе.
На рис.5.7 сначала по «выносу» построена тень от точки O и от оси поверхности. Далее через тень от центра O₂^Т проводится прямая с уклоном 1:2. Полученная прямая является тенью от биссекторной горизонтали, соединяющей точки 1 и 2. Лучи, проведенные под ∠ 45°, из точек 1₂ и 2₂ до пересечения с тенью от биссекторной прямой, проходящей через точку O₂^Т, дадут тени от точек 1 и 2. Прямые, соединяющие точки 3 и 4, а также точки 5 и 6, также являются биссекторными горизонталями. Серединные точки горизонталей 3–4 и 5–6 – это точки 9 и 10 соответственно. Они лежат на биссекторных горизонталях другого направления, которые пересекают ось. Тени таких горизонталей проецируются на фронтальную плоскость в виде вертикальной прямой (рис.2.10). В данном случае они будут совпадать с тенью от оси. Далее строятся тени от серединных точек 9 и 10. Через полученные точки 9₂^Т и 10₂^Т, проводятся прямые, параллельные 1₂^Т–2₂^Т, которые в пересечении с лучами из точек 3, 4, 5 и 6 дадут точки на контуре падающей тени. Горизонтальная проекция дана для пояснения и не используется в построениях.

Способ предназначен для построения падающих теней от одного объекта на другой, если хотя бы один из них может включать в себя прямые линии или окружности.
Суть способа заключается в следующем. От обоих объектов строятся падающие тени на какую-либо плоскость (уровня или проецирующую). Из точки пересечения теней на эту плоскость проводится «обратный луч» до пересечения с линией, давшей тень. Полученная точка является одной из точек контура искомой тени.
На рис.5.8 представлено построение тени от отрезка прямой AB на поверхность конуса вращения. Строится тень от отрезка AB и конуса на горизонтальную плоскость Γ. На поверхности конуса строится ряд образующих и тени от этих образующих. Из точек пересечения теней от образующих с тенью от отрезка A₁^ТB₁^Т на плоскость Γ проводятся обратные лучи до пересечения с соответствующими образующими, давшими тень. Полученные точки 1^КТ, 2^КТ, 3^КТ, 4^КТ являются тенями от точек отрезка AB на поверхность конуса. Точка 1^КТ могла быть определена и без построений, как лежащая одновременно на горизонтальной плоскости Γ и поверхности конуса. Точка 4^КТ, так называемая точка «исчезновения» тени, должна быть обязательно построена. Она лежит на контуре собственной тени конуса и без нее невозможно правильно выявить характер линии 1^КТ–4^КТ.

Способ предназначен для построения падающих теней на поверхности, которые могут быть пересечены плоскостями (экранами) по прямой или по окружности, т.е. в тех же случаях, что и способ обратных лучей. Иногда способы используются в комплексе.
Суть способа заключается в следующем. Поверхность пересекается плоскостью (экраном), параллельной плоскости проекций. На эту плоскость строится тень от линии, дающей тень. Точки пересечения полученной тени от линии с линией пересечения поверхности экраном являются точками, лежащими на контуре падающей тени от исходной линии на исходную поверхность. Т.к. экраны параллельны друг другу, то тени на них от исходной линии также параллельны и их повторное построение не составляет труда. Совокупность точек, полученных от нескольких экранов, позволит построить контур падающей тени от исходной линии на заданную поверхность.
На рис.5.9 представлено построение падающей тени от отрезка прямой AB на поверхность конуса вращения. При пересечении конуса плоскостями уровня Γ^/, Γ^//, Γ^/// получаются окружности. В роли первого экрана Γ^/ выступает плоскость основания конуса. Строятся тени от отрезка AB на каждую из плоскостей Γ^/, Γ^//, Γ^///. Пересечения окружностей с тенями от отрезка AB на соответствующих плоскостях Γ дадут тени на поверхности конуса.

В настоящей главе рассматривается построение теней наиболее часто используемых на практике архитектурных форм. В общем случае тени на фасаде всегда можно построить, используя способ лучевых сечений при наличии плана. Однако встречается множество частных случаев, в каждом из которых возможно использование особенностей данной архитектурной формы, что значительно сокращает трудоемкость построений и тем самым облегчает выполнение и понимание чертежа.

Тень от круглой плиты на колонну строится без построения тени на стену и без использования плана, который на чертеже показан только для пояснения построений, выполняемых на фасаде (рис.6.1). Тень на колонну падает от части окружности нижнего основания плиты от точки 4^/ до точки 4. Тень 1₂^Т на левую контурную образующую получена наложением плана на фронтальную проекцию. Проведена дуга радиусом, равным радиусу плиты. Из конечной точки левой контурной образующей проведен луч под ∠ 45° до пересечения с дугой. Из полученной точки пересечения 1₂^ф проведена горизонтальная прямая до пересечения с контурной образующей. Полученная точка 1₂^Т является тенью на левую контурную образующую. Исходя из условия полной симметрии относительно лучевой плоскости, проходящей через ось цилиндра, тень 3₂^Т на профильную образующую цилиндра будет находиться на той же параллели, что и тень на левой контурной образующей. Тень от точки 2, находящейся на бликовой образующей верхней плиты на расстоянии 0,707R от оси, падает также на бликовую образующую нижнего цилиндра. Поэтому из точки 2 проводится луч под ∠ 45° до пересечения с бликовой образующей нижнего цилиндра. Полученная точка 2₂^Т будет высшей. Точка исчезновения тени 4₂^Т получена в пересечении контура собственной тени колонны и окружности радиусом, равным 0,707 от радиуса верхней плиты. Точка 4₂^Т может быть получена подобным построением, потому что если использовать способ вспомогательных биссекторных экранов, то тень на такой экран Δ от окружности плиты проецируется в виде эллипса, который, в свою очередь, на фронтальной плоскости проекций проецируется в виде окружности радиуса 0,707R. Образующая, являющаяся контуром собственной тени, находится в биссекторной плоскости Δ. Поэтому точка пересечения этой образующей и такой окружности является тенью на эту образующую.

Тень от квадратной плиты на колонну (рис.6.2) также строится без построения тени на стену и без использования плана. Тень на колонну падает от двух прямых AB и BC нижнего основания плиты от точки 4/ до точки 4. Прямая AB – фронтально проецирующая, прямая BC – профильно проецирующая. Тени от обеих прямых на колонну (цилиндр) являются дугами эллипсов. От фронтально проецирующей прямой эта дуга эллипса проецируется в виде прямой, а от профильно проецирующей прямой – в виде дуги окружности радиусом, равным радиусу цилиндра. Центр этой окружности расположен на пересечении оси и светового луча из точки 2₂. Точка 2₂^Т и точка исчезновения тени 4₂^Т находятся на одной параллели. Также на одной параллели находятся точки 1₂^Т и 3₂^Т. Оба утверждения справедливы для квадратной плиты.

Тень от круглой плиты на колонну с каннелюрами (рис.6.3) строится как на обычную гладкую колонну, но дважды. В роли первой колонны выступает цилиндрическая поверхность, проходящая через ребра каннелюр, в роли второй колонны – цилиндрическая поверхность, касающаяся каннелюр. Собственные и падающие тени на обе цилиндрические поверхности строятся как в п.6.1. Истинная падающая тень является линией, которая проходит через точки пересечения ребер каннелюр с контуром первой падающей тени и касается контура второй падающей тени. Необходимо также построить собственные и падающие тени внутри каннелюр как в цилиндрических нишах (см. далее).

Аналогичным образом строятся тени от квадратной плиты на колонну с каннелюрами (рис.6.4).

Тень от валика на колонну (рис.6.5) строится с помощью падающей тени от валика на стену. Строится контур собственной тени валика 1₂–2₂–3₂–4₂–5₂–1₂ и цилиндра. Способом «выноса» строится падающая тень от валика и цилиндра на стену (вспомогательный экран), проходящую через ось валика и цилиндра. Точки, лежащие на контурных образующих цилиндра, принадлежат одновременно стене и цилиндру. Поэтому точка 6₂^в, лежащая на контуре падающей тени от валика на стену, принадлежит также контуру падающей тени от валика на цилиндр. Исходя из условия полной лучевой симметрии, точка 7₂^в, лежащая на профильной образующей, принадлежит той же параллели цилиндра, что и точка 6₂^в. Точка 2₂^в, лежащая на бликовой образующей колонны, является тенью от бликовой точки валика 2₂. Точка 2₂^в будет высшей на контуре падающей тени от валика на цилиндр. Точка исчезновения тени 8₂^в, лежащая одновременно на контуре собственной тени цилиндра и падающей тени от валика на цилиндр, строится с помощью обратного луча из точки пересечения падающих теней валика и цилиндра на стену.

Способом касательных конусов строится собственная тень скоции 1₂–3₂–2₂–4₂–5₂ (рис.6.6). Затем способом «выноса» строится падающая тень на стену (вспомогательный экран) от верхнего (окружность верхнего основания) и нижнего контура собственной тени скоции. Это будут линии 6₂–7₂^СТ–8₂^СТ–9₂^СТ–10₂ и 1₂–3₂^СТ–2₂^СТ–4₂^СТ–5₂ соответственно. После этого строится падающая тень от окружности на поверхность скоции по тем же принципам, что и тень от валика на колонну. Отличие заключается лишь в построении тени от бликовой точки 7 в силу трудоемкости построения бликовой образующей скоции. Используя метод вращения вокруг проецирующей оси, точка 7 вместе с бликовой образующей и световым лучом поворачивается до совмещения с контуром. После поворота световой луч проецируется под ∠ 35°, а точка 7 совпадет с точкой 6. Пересечение светового луча с бликовой образующей после поворота дадут точку тени после поворота. Через полученную точку необходимо провести параллель скоции. Тень от точки 7 до поворота будет находиться на этой параллели.

Тень от квадратной плиты на поверхность вращения произвольного вида (рис.6.7) строится аналогично тени от квадратной плиты на цилиндр. При этом используется несколько соосных с поверхностью вращения и пересекающих ее цилиндров. На каждом из этих цилиндров строится тень от квадратной плиты, состоящая из двух участков: первый – прямая, совпадающая с направлением светового луча, второй – дуга окружности радиусом, равным радиусу данного цилиндра. Из всей дуги на контуре падающей тени находятся лишь те точки, которые являются общими для поверхности вращения и цилиндра, т.е. точки пересечения дуги окружности и параллели, соответствующей данному цилиндру. Центр всех дуг находится в точке пересечения световых лучей из угловой точки плиты с осью поверхности вращения. Накопив достаточное количество точек, можно с любой степенью точности построить криволинейный участок контура падающей тени на поверхность вращения. Прямолинейный участок будет иметь место также, как и в случае с цилиндром. Точность построения тени от угловой точки зависит от точности построения криволинейного участка тени. Подобный способ построения носит название способ цилиндрических экранов.

Ниша являются архитектурной формой, часто используемой на практике и представляющая собой внутреннюю поверхность призм, цилиндров, конусов и сфер или их комбинаций.
На рис.6.8 представлена призматическая ниша. Падающие тени от контура ниши (он же контур собственной тени) на внутреннюю поверхность задней грани призмы, являющейся фронтальной плоскостью, строятся по «выносу», который равен глубине ниши a.

На рис.6.9 представлена цилиндрическая ниша с открытым верхом. Строится собственная тень цилиндра известным способом. Затем строятся падающие тени от контура собственной тени ниши, состоящего из левой контурной образующей и дуги окружности от точки 1 до точки 2. Падающая тень от вертикальной прямой на цилиндрическую поверхность падает на образующую, совпадающую с осью. Последняя точка 1 дает тень в точке 1₂^Т. Далее строится тень от дуги окружности 1–2. Тень от точки 2 совпадает с самой точкой 2. Тени от промежуточных точек 3 и 4 позволяют построить падающую тень 1₂^Т – 2₂^Т, являющуюся дугой эллипса.

На рис.6.10 представлена цилиндрическая ниша с закрытым верхом. После построения собственной тени строятся падающие тени от контура собственной тени, в роли которого выступают левая контурная образующая и горизонтальная прямая контура верхней плиты. Тень от контурной образующей, как и в предыдущем случае, совпадает с осью, а тень от профильно проецирующей прямой на цилиндрическую поверхность будет эллипсом, который проецируется в виде дуги окружности 1₂^Т – 2₂^Т.

На рис.6.11 представлена сферическая ниша. После построения собственной тени строится падающая тень на внутреннюю поверхность сферы от участка контура ниши, являющегося контуром собственной тени. Таковой является дуга окружности 1–3–2. Для большей точности и меньшей трудоемкости построений проводится замена плоскостей проекций. Вновь введенная плоскость параллельна световому лучу, поэтому направление луча на ней проецируется в натуральную величину 35°. Тень от любой точки, лежащей на части контура, отбрасывающей тень, будет находиться на той же параллели, что и сама точка. Пересечение светового луча, проходящего через точку 3₃ контура ниши, с параллелью дает точку 3₃^Т на контуре падающей тени. При возвращении в проекционной связи точки 3 на фронтальную плоскость проекций получается точка 3₂^Т на контуре падающей тени. Аналогичным образом может быть построен ряд точек. Полученная кривая 1₂^Т–4₂^Т–3₂^Т–5₂^Т–2₂^Т является дугой эллипса. Расстояния от оси 1₂–2₂ до контура падающей тени составляют 1/3 от радиуса окружности соответствующей параллели. Зная это, достаточно лишь откладывать перпендикулярно прямой 1₂–2₂ расстояния, равные 1/3 радиуса соответствующей окружности.

На рис.6.12 представлена комбинированная ниша, образованная цилиндрической и сферической поверхностями. Строится контур собственных теней для каждой из поверхностей. Затем строятся падающие тени каждой из поверхностей независимо друг от друга. Из точки 5₂^Т, расположенной на границе сферической и цилиндрической поверхностей, обратным лучом находится точка 5₂. Участок контура сферической части между точками 1 и 5 отбрасывает тень внутрь сферической части в виде линии 1₂–5₂^Т. Участок контура цилиндрической части от левой контурной образующей отбрасывает тень внутрь цилиндрической части в виде прямой от точки 3₂^Т. Участок контура сферической части между точками 3 и 5 отбрасывает тень внутрь цилиндрической части в виде линии 3₂^Т–5₂^Т. Промежуточные точки 6₂^Т и 7₂^Т строятся способом лучевых сечений.

На рис.6.13 представлено построение тени в конической нише с вертикальной осью. С помощью обратного луча строится фиктивная тень от вершины на плоскость основания конуса S₁^ф. Касательная к основанию конуса из этой точки даст точку 1₁ на образующей, являющейся контуром собственной тени. Строится тень от вершины на плоскость основания конуса S₁^Т. Тень от контурной образующей 2S на плоскость основания конуса будет прямая 2₁S₁^Т. Лучевая плоскость, проходящая через образующую 2S, а следовательно, через вершину, пересечет конус еще раз по другой образующей, проходящей через точку 3₁^Т. Эта образующая будет контуром падающей тени.

На рис.6.14 представлено построение тени в конической нише с горизонтальной осью. С помощью обратного луча строится фиктивная тень S^ф на плоскость большего основания от достроенной вершины S. Касательные из точки S₂^ф к большему основанию конуса дают точки A₂ и B₂. Дуга AB и образующие, проходящие через точки A и B, будут контуром собственной тени. Падающая тень на меньшее основание будет дугой окружности с радиусом, равным радиусу большего основания, и центром в точке O₂^Т. Обратные лучи из точек C₂ и D₂ позволяют найти границы участков на контуре AB. Участки AC и BD будут отбрасывать тень на внутреннюю поверхность конуса. Промежуточная точка 1₂^Т построена способом обратных лучей.

Падающие тени на ступенях лестницы возникают от ограждений различной формы. Для построения используется профильная проекция. Световой луч на профильной плоскости проекций также проецируется под ∠ 45°.
На рис.6.15 представлено построение теней на ступени лестницы от контуров ограждения, являющихся отрезками AB и BC фронтально проецирующей и горизонтально проецирующей прямых соответственно. Сами ступени представляют собой фронтальные и горизонтальные плоскости уровня. Поэтому тени на подступенках от вертикальной прямой будут вертикальными прямыми, а от горизонтальной прямой – прямой под ∠ 45°. Тень полностью повторяет профильную проекцию ступеней.

На рис.6.16 представлено построение теней на ступени лестницы от контуров ограждения, являющихся отрезками AB, BC и CD фронтально проецирующей, профильной и горизонтально проецирующей прямых соответственно. В случае с наклонным ограждением, если его контур параллелен прямой, мысленно соединяющей ребра ступеней, тени на ступенях представляют собой наклонные прямые, заключенные между двумя вертикальными прямыми. Тени от остальных участков ограждения как в предыдущем случае.

Формы, называемые кронштейнами, представляют собой цилиндрические поверхности с горизонтальными образующими. Сбоку поверхности ограничены параллельными плоскостями. Тени строятся с использованием профильной проекции.
На рис.6.17 представлен простой кронштейн. Касательным световым лучом на профильной проекции определяется точка 1₃, ограничивающая контур собственной тени. На фронтальной проекции через точку 1₂ проводится образующая, являющаяся контуром собственной тени. Далее определяется контур падающей тени от контурной образующей кронштейна, проходящей через точку 2. Участок кривой 2–1 также будет отбрасывать тень на цилиндрическую поверхность кронштейна. Построения аналогичны построениям падающей тени в открытой цилиндрической нише.

На рис.6.18 представлен кронштейн более сложной формы. Тени в верхней части кронштейна аналогичны предыдущему случаю. А в нижней выпуклой части контур собственной тени отбрасывает тень на вертикальную плоскость. Кроме того, построены также тени на стену способом «выноса». Тень на стену состоит из тени от контура профиля кронштейна и частично перекрывающей ее тени от образующих, проходящих через точки 2 и 3.

Ниже приводятся примеры построения теней архитектурных форм: балясины и ротонды