Начертательная геометрия
Классический учебник + цифровые технологии
Об учебнике
Начертательная геометрия – дисциплина, без знания которой не может состояться квалифицированный инженер или архитектор. Традиционные сложности при освоении материала автор предлагает преодолеть благодаря новому формату учебника с использованием следующих моментов:
- краткости изложения (около 70 страниц с иллюстрациями);
- авторскому нетрадиционному структурированию и систематизации материала;
- и самое главное, видео, связанным с каждым чертежом и позволяющим проследить весь процесс построений на комплексном чертеже (в ортогональных проекциях) и пространственном оригинале одновременно.
Об авторе
Айгунян Марина Александровна, кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии с опытом работы более 25 лет в ведущих вузах Москвы, победитель конкурса на лучший учебно-методический цифровой курс Российского университета дружбы народов
РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ
С древнейших времен человечество пыталось отобразить окружающий нас мир в виде изображений на поверхности каких-либо материалов. В роли этих поверхностей могли выступать в разное время гладкие поверхности скал, кожа, пергамент, береста, камень, дерево и, наконец, бумага. Эти изображения несли в себе графическую информацию, которую можно было передавать друг другу и, что особенно ценно, следующим поколениям. Осознанно или, не осознавая этого, графические изображения строились методами проецирования. Все графические изображения можно подразделить на два вида. К первому из них относятся рисунок и живопись, ко второму – чертеж. Несмотря на то, что оба вида изображений получены методами проецирования, между ними имеется существенная разница, заключающаяся в следующем. В рисунке или живописной картине автор отображает собственное видение и индивидуальное восприятие окружающего мира. И это замечательно, т.к. рисунок и живопись являются искусством. В отличие от художественного рисунка чертеж не должен нести в себе никаких черт индивидуального восприятия, а должен быть выполнен по определенным законам и правилам для того, чтобы восприниматься абсолютно одинаково, независимо от того, кто его выполнял или, кто его использовал в работе.
Предметом изучения начертательной геометрии являются методы построения чертежей. Задолго до того, как начертательная геометрия оформилась как наука, человечество уже пользовалось чертежами. Однако эти чертежи представляли собой смесь рисунка и чертежа в современном понимании.
Основателем начертательной геометрии по праву считается великий французский ученый и политический деятель Гаспар Монж. Именно он заложил теоретические основы начертательной геометрии в том виде, в котором мы до сих пор ими пользуемся.
Основной целью изучения начертательной геометрии в вузе является освоение закономерностей, по которым строятся графические изображения методами проецирования, а также развитие пространственного мышления у студентов.
С древнейших времен человечество пыталось отобразить окружающий нас мир в виде изображений на поверхности каких-либо материалов. В роли этих поверхностей могли выступать в разное время гладкие поверхности скал, кожа, пергамент, береста, камень, дерево и, наконец, бумага. Эти изображения несли в себе графическую информацию, которую можно было передавать друг другу и, что особенно ценно, следующим поколениям. Осознанно или, не осознавая этого, графические изображения строились методами проецирования. Все графические изображения можно подразделить на два вида. К первому из них относятся рисунок и живопись, ко второму – чертеж. Несмотря на то, что оба вида изображений получены методами проецирования, между ними имеется существенная разница, заключающаяся в следующем. В рисунке или живописной картине автор отображает собственное видение и индивидуальное восприятие окружающего мира. И это замечательно, т.к. рисунок и живопись являются искусством. В отличие от художественного рисунка чертеж не должен нести в себе никаких черт индивидуального восприятия, а должен быть выполнен по определенным законам и правилам для того, чтобы восприниматься абсолютно одинаково, независимо от того, кто его выполнял или, кто его использовал в работе.
Предметом изучения начертательной геометрии являются методы построения чертежей. Задолго до того, как начертательная геометрия оформилась как наука, человечество уже пользовалось чертежами. Однако эти чертежи представляли собой смесь рисунка и чертежа в современном понимании.
Основателем начертательной геометрии по праву считается великий французский ученый и политический деятель Гаспар Монж. Именно он заложил теоретические основы начертательной геометрии в том виде, в котором мы до сих пор ими пользуемся.
Основной целью изучения начертательной геометрии в вузе является освоение закономерностей, по которым строятся графические изображения методами проецирования, а также развитие пространственного мышления у студентов.
РАЗДЕЛ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБРАЗЫ
С позиций начертательной геометрии предметы окружающего нас мира являются геометрическими образами. Абстрагируясь их можно свести к трем геометрическим образам: точка, линия и поверхность. Точка – это геометрический образ, не имеющий размеров. В результате движения точки по какой-либо траектории образуется геометрический образ, называемый линией, т.е. линия – это траектория движения точки. Линия имеет одно измерение – это ее длина. В результате движения линии образуется геометрический образ, называемый поверхностью, т.е. поверхность – это траектория движения линии по определенному закону. Поверхность имеет два измерения. Плоскость является частным случаем поверхности. Поверхность считается не имеющей толщины, но при этом является непрозрачной. Способ получения геометрических образов путем движения какого-либо другого геометрического образа называется кинематическим способом.
В данном курсе начертательной геометрии для обозначения геометрических образов на чертеже вводятся следующие обозначения. Для точек вводится обозначение в виде заглавных букв латинского алфавита (A, B, C …). Линии обозначаются строчными буквами латинского алфавита (a, b, c …). Поверхности обозначаются заглавными буквами греческого алфавита (например, Δ, Γ, Σ, Φ …).
С позиций начертательной геометрии предметы окружающего нас мира являются геометрическими образами. Абстрагируясь их можно свести к трем геометрическим образам: точка, линия и поверхность. Точка – это геометрический образ, не имеющий размеров. В результате движения точки по какой-либо траектории образуется геометрический образ, называемый линией, т.е. линия – это траектория движения точки. Линия имеет одно измерение – это ее длина. В результате движения линии образуется геометрический образ, называемый поверхностью, т.е. поверхность – это траектория движения линии по определенному закону. Поверхность имеет два измерения. Плоскость является частным случаем поверхности. Поверхность считается не имеющей толщины, но при этом является непрозрачной. Способ получения геометрических образов путем движения какого-либо другого геометрического образа называется кинематическим способом.
В данном курсе начертательной геометрии для обозначения геометрических образов на чертеже вводятся следующие обозначения. Для точек вводится обозначение в виде заглавных букв латинского алфавита (A, B, C …). Линии обозначаются строчными буквами латинского алфавита (a, b, c …). Поверхности обозначаются заглавными буквами греческого алфавита (например, Δ, Γ, Σ, Φ …).
РАЗДЕЛ 3. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
Основой аппарата получения графических изображений является проецирование. Понятие проецирования встречается в нашей повседневной жизни независимо от нас. Например, тени предметов, отражения в зеркале или на поверхности воды являются проекциями, созданными самой природой. В начертательной геометрии при построении изображений используют следующие методы проецирования: метод центрального проецирования, метод параллельного проецирования, метод прямоугольного или ортогонального проецирования.
Метод центрального проецирования. Точки A, O и плоскость Π1 находятся в пространстве. Если из точки O провести луч через точку A до пересечения с плоскостью Π1, то точка A1 пересечения луча с плоскостью Π1 называется проекцией точки A на плоскость Π1 (рис.3.1). При этом точка O называется центром проекций; луч, исходящий из точки O, называется проецирующим лучом; плоскость Π1 называется плоскостью проекций. Такое проецирование называется центральным.
Основой аппарата получения графических изображений является проецирование. Понятие проецирования встречается в нашей повседневной жизни независимо от нас. Например, тени предметов, отражения в зеркале или на поверхности воды являются проекциями, созданными самой природой. В начертательной геометрии при построении изображений используют следующие методы проецирования: метод центрального проецирования, метод параллельного проецирования, метод прямоугольного или ортогонального проецирования.
Метод центрального проецирования. Точки A, O и плоскость Π1 находятся в пространстве. Если из точки O провести луч через точку A до пересечения с плоскостью Π1, то точка A1 пересечения луча с плоскостью Π1 называется проекцией точки A на плоскость Π1 (рис.3.1). При этом точка O называется центром проекций; луч, исходящий из точки O, называется проецирующим лучом; плоскость Π1 называется плоскостью проекций. Такое проецирование называется центральным.
Для того, чтобы получить проекцию отрезка прямой линии, достаточно спроецировать две его точки. Тогда центральной проекцией отрезка BC на плоскость Π1 будет являться отрезок прямой линии B1C1 (рис.3.1).
Методом центрального проецирования строятся перспективные изображения. Зрительные органы человека воспринимают окружающий мир на сетчатке глаза по принципам центрального проецирования. Поэтому наиболее наглядными изображениями являются изображения, полученные по методу центрального проецирования.
Метод параллельного проецирования. В случае если центр проекций O удалить в бесконечность, проецирующие лучи станут параллельными определенному направлению и друг другу. Такой способ проецирования называется параллельным (рис.3.2). В этом случае отрезок прямой B1C1 называется параллельной проекцией отрезка BC на плоскость проекций Π1.
Параллельное проецирование является частным случаем центрального проецирования, когда центр проекций удален в бесконечность.
Метод ортогонального (прямоугольного) проецирования. В случае, если параллельные проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций, то метод проецирования называется прямоугольным или ортогональным. Проекции, полученные таким методом, называются ортогональными или прямоугольными проекциями (рис.3.3).
Методом центрального проецирования строятся перспективные изображения. Зрительные органы человека воспринимают окружающий мир на сетчатке глаза по принципам центрального проецирования. Поэтому наиболее наглядными изображениями являются изображения, полученные по методу центрального проецирования.
Метод параллельного проецирования. В случае если центр проекций O удалить в бесконечность, проецирующие лучи станут параллельными определенному направлению и друг другу. Такой способ проецирования называется параллельным (рис.3.2). В этом случае отрезок прямой B1C1 называется параллельной проекцией отрезка BC на плоскость проекций Π1.
Параллельное проецирование является частным случаем центрального проецирования, когда центр проекций удален в бесконечность.
Метод ортогонального (прямоугольного) проецирования. В случае, если параллельные проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций, то метод проецирования называется прямоугольным или ортогональным. Проекции, полученные таким методом, называются ортогональными или прямоугольными проекциями (рис.3.3).
В дальнейшем в настоящем курсе начертательной геометрии используется метод ортогонального проецирования.
Обратимость чертежа. Проекции, полученные вышеописанными методами проецирования на одну плоскость проекций, не обладают свойством обратимости или однозначности чертежа. Это свойство заключается в том, что при проецировании на одну плоскость проекций можно получить проекцию оригинала геометрического образа, расположенного в пространстве. При этом, имея одну проекцию геометрического образа, невозможно восстановить однозначно положение оригинала геометрического образа в пространстве. Например, проекция отрезка CD (C1D1) совпадает с проекцией отрезка AB (A1B1). Поэтому по этой проекции невозможно судить о каком отрезке в пространстве идет речь (рис.3.4). Это утверждение относится ко всем трем методам проецирования.
Обратимость чертежа. Проекции, полученные вышеописанными методами проецирования на одну плоскость проекций, не обладают свойством обратимости или однозначности чертежа. Это свойство заключается в том, что при проецировании на одну плоскость проекций можно получить проекцию оригинала геометрического образа, расположенного в пространстве. При этом, имея одну проекцию геометрического образа, невозможно восстановить однозначно положение оригинала геометрического образа в пространстве. Например, проекция отрезка CD (C1D1) совпадает с проекцией отрезка AB (A1B1). Поэтому по этой проекции невозможно судить о каком отрезке в пространстве идет речь (рис.3.4). Это утверждение относится ко всем трем методам проецирования.
Величина длины отрезка в пространстве (натуральная величина) при проецировании искажается. При прямоугольном проецировании длина проекции отрезка всегда меньше (или равна) натуральной величине отрезка в пространстве. Для ее нахождения необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник ABA/, в котором натуральная величина отрезка является гипотенузой (рис.4.4, 4.5).
Для определения величины гипотенузы достаточно построить катеты этого прямоугольного треугольника, которыми являются величина одной из проекций, например, A1B1 и величина разницы по высоте между точками A и B. Эту разницу можно взять с другой плоскости проекций A2A2/. Аналогичным образом можно построить другой прямоугольный треугольник, который образуется при проецировании на фронтальную плоскость проекций. При этом одним из катетов будет фронтальная проекция отрезка A2B2, а вторым катетом является расстояние, которым определяется то, насколько одна точка ближе (или дальше) другой. Это расстояние измеряется на горизонтальной плоскости проекций. Таким образом, можно построить два разных прямоугольных треугольника, но гипотенуза у них будет одинаковая по величине и равная натуральной величине отрезка. Эти треугольники можно построить на комплексном чертеже, начертив второй катет непосредственно к проекции, являющейся первым катетом. При этом необходимо помнить, что приведенные построения не являются элементами комплексного чертежа, а всего лишь позволяют определить натуральную величину отрезка.
При проецировании искажаются не только длины отрезков, но и величины углов. Произвольный по величине угол между двумя прямыми линиями проецируется в натуральную величину на плоскость проекций, если его стороны параллельны плоскости проекций. В отличие от произвольного угла, прямой угол проецируется в натуральную величину на плоскость проекций, если хотя бы одна из его сторон параллельна этой плоскости проекций (это можно доказать, используя теорему о трех перпендикулярах). Последнее утверждение носит название теоремы о проецировании прямого угла.
Для определения величины гипотенузы достаточно построить катеты этого прямоугольного треугольника, которыми являются величина одной из проекций, например, A1B1 и величина разницы по высоте между точками A и B. Эту разницу можно взять с другой плоскости проекций A2A2/. Аналогичным образом можно построить другой прямоугольный треугольник, который образуется при проецировании на фронтальную плоскость проекций. При этом одним из катетов будет фронтальная проекция отрезка A2B2, а вторым катетом является расстояние, которым определяется то, насколько одна точка ближе (или дальше) другой. Это расстояние измеряется на горизонтальной плоскости проекций. Таким образом, можно построить два разных прямоугольных треугольника, но гипотенуза у них будет одинаковая по величине и равная натуральной величине отрезка. Эти треугольники можно построить на комплексном чертеже, начертив второй катет непосредственно к проекции, являющейся первым катетом. При этом необходимо помнить, что приведенные построения не являются элементами комплексного чертежа, а всего лишь позволяют определить натуральную величину отрезка.
При проецировании искажаются не только длины отрезков, но и величины углов. Произвольный по величине угол между двумя прямыми линиями проецируется в натуральную величину на плоскость проекций, если его стороны параллельны плоскости проекций. В отличие от произвольного угла, прямой угол проецируется в натуральную величину на плоскость проекций, если хотя бы одна из его сторон параллельна этой плоскости проекций (это можно доказать, используя теорему о трех перпендикулярах). Последнее утверждение носит название теоремы о проецировании прямого угла.
РАЗДЕЛ 5. ЗАДАНИЕ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ
5.1. Положение прямых относительно плоскостей проекций
Прямая линия относительно плоскостей проекций может располагаться следующим образом: прямая занимает произвольное положение, прямая параллельна плоскости проекций, прямая параллельна обеим плоскостям проекций, прямая перпендикулярна какой-либо плоскости проекций. Ниже рассматривается каждый из этих случаев.
1. Прямая, расположенная в пространстве произвольным образом, носит название прямой общего положения. Ее проекции могут располагаться произвольно (рис.5.1).
Прямая линия относительно плоскостей проекций может располагаться следующим образом: прямая занимает произвольное положение, прямая параллельна плоскости проекций, прямая параллельна обеим плоскостям проекций, прямая перпендикулярна какой-либо плоскости проекций. Ниже рассматривается каждый из этих случаев.
1. Прямая, расположенная в пространстве произвольным образом, носит название прямой общего положения. Ее проекции могут располагаться произвольно (рис.5.1).
2. Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонталью, обозначается буквой h, проецируется на горизонтальной плоскости проекций в натуральную величину, а на фронтальной плоскости в виде прямой, перпендикулярной линиям связи (рис.5.2).
3. Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронталью, обозначается буквой f, проецируется на фронтальной плоскости проекций в натуральную величину, а на горизонтальной плоскости в виде прямой, перпендикулярной линиям связи (рис.5.3).
4. Прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально проецирующей, ее горизонтальная проекция вырождается в точку, а фронтальная проекция совпадает с линией связи (рис.5.4).
3. Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронталью, обозначается буквой f, проецируется на фронтальной плоскости проекций в натуральную величину, а на горизонтальной плоскости в виде прямой, перпендикулярной линиям связи (рис.5.3).
4. Прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально проецирующей, ее горизонтальная проекция вырождается в точку, а фронтальная проекция совпадает с линией связи (рис.5.4).
5. Прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций, называется фронтально проецирующей, ее фронтальная проекция вырождается в точку, а горизонтальная проекция совпадает с линией связи (рис.5.5).
6. Прямая, параллельная одновременно обеим плоскостям проекций, называется профильно проецирующей прямой и ее обе проекции перпендикулярны линиям связи (рис.5.6).
7. Прямая, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной прямой и ее обе проекции совпадают с линиями связи (рис.5.7).
Профильной плоскостью проекций называется третья плоскость проекций, которая перпендикулярна одновременно горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций, обозначается Π3 и иногда используется в построениях.
Профильная проекция соответствует взгляду слева на геометрический образ.
Все перечисленные прямые, кроме прямых общего положения, объединяются общим названием прямые частного положения. Фронталь, горизонталь и профильная прямая объединяются общим названием прямые уровня.
6. Прямая, параллельная одновременно обеим плоскостям проекций, называется профильно проецирующей прямой и ее обе проекции перпендикулярны линиям связи (рис.5.6).
7. Прямая, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной прямой и ее обе проекции совпадают с линиями связи (рис.5.7).
Профильной плоскостью проекций называется третья плоскость проекций, которая перпендикулярна одновременно горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций, обозначается Π3 и иногда используется в построениях.
Профильная проекция соответствует взгляду слева на геометрический образ.
Все перечисленные прямые, кроме прямых общего положения, объединяются общим названием прямые частного положения. Фронталь, горизонталь и профильная прямая объединяются общим названием прямые уровня.
5.2. Взаимное положение прямых
Две прямые относительно друг друга могут располагаться следующим образом: быть параллельными, пересекаться, скрещиваться. Ниже рассматривается каждый из этих случаев.
1. Две прямые параллельны друг другу, если их одноименные проекции параллельны (одноименные проекции – это проекции на одну и ту же плоскость проекций, т.е. проекции с одинаковыми индексами) (рис.5.8).
2. Две прямые пересекаются, если у них имеется общая точка, проекции которой лежат на одной линии связи (рис.5.9).
3. Две прямые скрещиваются, если они не параллельны и не пересекаются. Это возможно, если прямые не параллельны, но лежат в параллельных плоскостях (рис.5.10).
Две прямые относительно друг друга могут располагаться следующим образом: быть параллельными, пересекаться, скрещиваться. Ниже рассматривается каждый из этих случаев.
1. Две прямые параллельны друг другу, если их одноименные проекции параллельны (одноименные проекции – это проекции на одну и ту же плоскость проекций, т.е. проекции с одинаковыми индексами) (рис.5.8).
2. Две прямые пересекаются, если у них имеется общая точка, проекции которой лежат на одной линии связи (рис.5.9).
3. Две прямые скрещиваются, если они не параллельны и не пересекаются. Это возможно, если прямые не параллельны, но лежат в параллельных плоскостях (рис.5.10).
В случае скрещивающихся прямых возникает вопрос о видимости совпадающих (конкурирующих) точек. В данном случае конкурирующими являются точки 1 и 2, а также точки 3 и 4. Точка 1, принадлежащая прямой a, совпадает на фронтальной плоскости проекций с точкой 2, принадлежащей прямой b. При переходе на горизонтальную плоскость проекций обнаруживается, что точка 2 расположена ближе, а точка 1 – дальше от наблюдателя. Поэтому на фронтальной плоскости проекций точка 2 заслонит точку 1 (поэтому точка 1 заключена в скобки). Рассуждая аналогичным образом относительно конкурирующих точек 3 и 4 на горизонтальной плоскости проекций и, перейдя на фронтальную плоскость проекций, обнаруживается, что точка 3, принадлежащая прямой a, расположена выше точки 4, принадлежащей прямой b. Поэтому на горизонтальной плоскости проекций, т.е. при взгляде сверху, из двух конкурирующих точек 3 и 4 будет видна точка 3.
Анализ видимости на комплексном чертеже более сложных геометрических образов в любом случае сводится к анализу видимости каких-либо конкурирующих точек, принадлежащих этим образам. При этом видимость на фронтальной плоскости проекций определяется по взаимному положению точек на горизонтальной плоскости проекций, видимость на горизонтальной плоскости проекций определяется по взаимному положению точек на фронтальной плоскости проекций.
Анализ видимости на комплексном чертеже более сложных геометрических образов в любом случае сводится к анализу видимости каких-либо конкурирующих точек, принадлежащих этим образам. При этом видимость на фронтальной плоскости проекций определяется по взаимному положению точек на горизонтальной плоскости проекций, видимость на горизонтальной плоскости проекций определяется по взаимному положению точек на фронтальной плоскости проекций.
РАЗДЕЛ 6. ЗАДАНИЕ ПЛОСКОСТИ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ
Плоскость на комплексном чертеже можно задать следующими способами:
1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис.6.1).
2. Прямой и точкой, не лежащей на этой прямой (рис.6.2).
3. Двумя пересекающимися прямыми (рис.6.3).
4. Двумя параллельными прямыми (рис.6.4).
5. Любой плоской кривой или ломаной линией (например, треугольником) (рис.6.5).
Плоскость на комплексном чертеже можно задать следующими способами:
1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис.6.1).
2. Прямой и точкой, не лежащей на этой прямой (рис.6.2).
3. Двумя пересекающимися прямыми (рис.6.3).
4. Двумя параллельными прямыми (рис.6.4).
5. Любой плоской кривой или ломаной линией (например, треугольником) (рис.6.5).
Анализируя изображения на рис.6.1 – 6.5, можно заметить, что все изображения взаимосвязаны, и их можно заменять друг другом. Например, задание плоскости прямой и точкой можно получить из изображения плоскости тремя точками, соединив две из них прямой линией.
На плоскости (или в плоскости) можно построить точки и линии, принадлежащие этой плоскости. Для того, чтобы построить прямую, лежащую в плоскости, необходимо ее провести через две точки, лежащие в этой плоскости. В свою очередь, для построения точки, лежащей в плоскости, необходимо, чтобы она принадлежала линии, лежащей в этой плоскости. Например, прямая a принадлежит плоскости Γ, заданной треугольником ABC, т.к. она проведена через две точки A и 1, принадлежащие плоскости Γ (рис.6.6). Точка D принадлежит плоскости Γ, заданной треугольником ABC, т.к. она принадлежит прямой a, лежащей в плоскости Γ (рис.6.7). Вышесказанное носит название принципа принадлежности.
В любой плоскости можно провести фронталь и горизонталь, принадлежащие данной плоскости. Все фронтали одной и той же плоскости параллельны друг другу. Аналогично, все горизонтали одной и той же плоскости также параллельны друг другу (рис.6.8).
Кроме линий уровня в плоскости можно провести линии ската. Прямая ската t перпендикулярна горизонтали плоскости и этот угол проецируется в натуральную величину на горизонтальной плоскости проекций согласно теореме о проецировании прямого угла (рис.6.9). Прямая ската составляет максимальный угол с горизонтальной плоскостью проекций. Именно этим углом измеряется угол наклона данной плоскости к горизонтальной плоскости проекций. То же самое относится и к прямым линиям, лежащим в плоскости и перпендикулярным к фронтали. Такие прямые линии называются прямыми наибольшего угла наклона к фронтальной плоскости проекций.
На плоскости (или в плоскости) можно построить точки и линии, принадлежащие этой плоскости. Для того, чтобы построить прямую, лежащую в плоскости, необходимо ее провести через две точки, лежащие в этой плоскости. В свою очередь, для построения точки, лежащей в плоскости, необходимо, чтобы она принадлежала линии, лежащей в этой плоскости. Например, прямая a принадлежит плоскости Γ, заданной треугольником ABC, т.к. она проведена через две точки A и 1, принадлежащие плоскости Γ (рис.6.6). Точка D принадлежит плоскости Γ, заданной треугольником ABC, т.к. она принадлежит прямой a, лежащей в плоскости Γ (рис.6.7). Вышесказанное носит название принципа принадлежности.
В любой плоскости можно провести фронталь и горизонталь, принадлежащие данной плоскости. Все фронтали одной и той же плоскости параллельны друг другу. Аналогично, все горизонтали одной и той же плоскости также параллельны друг другу (рис.6.8).
Кроме линий уровня в плоскости можно провести линии ската. Прямая ската t перпендикулярна горизонтали плоскости и этот угол проецируется в натуральную величину на горизонтальной плоскости проекций согласно теореме о проецировании прямого угла (рис.6.9). Прямая ската составляет максимальный угол с горизонтальной плоскостью проекций. Именно этим углом измеряется угол наклона данной плоскости к горизонтальной плоскости проекций. То же самое относится и к прямым линиям, лежащим в плоскости и перпендикулярным к фронтали. Такие прямые линии называются прямыми наибольшего угла наклона к фронтальной плоскости проекций.
Плоскости могут занимать в пространстве общее и частное положение относительно плоскостей проекций. Ниже перечисляются возможные частные положения плоскостей.
1. Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций, называется фронтально проецирующей (рис.6.10).
2. Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально проецирующей (рис.6.11).
3. Плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной плоскостью уровня (рис.6.12).
4. Плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной плоскостью уровня (рис.6.13).
Плоскости уровня одновременно являются и проецирующими плоскостями. Плоскости частного положения можно задавать вышеперечисленными способами, а также, так называемой, вырожденной проекцией. Одна из проекций плоскости частного положения вырождается в прямую линию на той плоскости проекций, по отношению к которой она занимает проецирующее положение. Вторая проекция занимает всю область на второй плоскости проекций, как обычно, но ее не показывают (рис.6.10-6.13).
1. Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций, называется фронтально проецирующей (рис.6.10).
2. Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально проецирующей (рис.6.11).
3. Плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной плоскостью уровня (рис.6.12).
4. Плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной плоскостью уровня (рис.6.13).
Плоскости уровня одновременно являются и проецирующими плоскостями. Плоскости частного положения можно задавать вышеперечисленными способами, а также, так называемой, вырожденной проекцией. Одна из проекций плоскости частного положения вырождается в прямую линию на той плоскости проекций, по отношению к которой она занимает проецирующее положение. Вторая проекция занимает всю область на второй плоскости проекций, как обычно, но ее не показывают (рис.6.10-6.13).
Прямые уровня и прямые ската проецирующих плоскостей и плоскостей уровня претерпевают некоторые изменения. На рис.6.14-6.17 заданы те же плоскости, что на рис.6.10-6.13, но с помощью пересекающихся прямых, в роли которых выступают фронтали и горизонтали. Для фронтально проецирующей плоскости ее горизонталь превращается в фронтально проецирующую прямую, а фронтальная проекция фронтали совпадает с вырожденной проекцией плоскости. Для горизонтально проецирующей плоскости ее фронталь превращается в горизонтально проецирующую прямую, а горизонтальная проекция горизонтали совпадает с вырожденной проекцией плоскости. Для горизонтальной плоскости уровня горизонтальная проекция горизонтали может располагаться, как угодно, а фронтальная проекция горизонтали совпадает с вырожденной проекцией плоскости, фронталь при этом превращается в профильно проецирующую прямую. Для фронтальной плоскости уровня фронтальная проекция фронтали может располагаться, как угодно, а горизонтальная проекция фронтали совпадает с вырожденной проекцией плоскости, горизонталь при этом превращается в профильно проецирующую прямую.
Для проецирующих плоскостей линиями ската являются сами фронтали и горизонтали, т.к. они перпендикулярны друг другу. Для плоскостей уровня одна из линий ската может быть любой прямой, лежащей в плоскости, а вторая превращается в проецирующую прямую.
Для проецирующих плоскостей линиями ската являются сами фронтали и горизонтали, т.к. они перпендикулярны друг другу. Для плоскостей уровня одна из линий ската может быть любой прямой, лежащей в плоскости, а вторая превращается в проецирующую прямую.
Зарегистрируйтесь для продолжения обучения!